MATEMATIKA

STATISTIK

A. Ukuran Pemusatan Data

1. Rataan Hitung (Mean)

Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

a) Rataan Hitung dari Data Tunggal

Median (Nilai Tengah)

a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompookan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

b) Data yang Dikelompokkan

Dengan : Qj = Kuartil ke-j

j = 1, 2, 3

i = Interval kelas

Lj = Tepi bawah kelas Qj

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj

f = Frekuensi kelas Qj

n = Banyak data

Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

5. Simpangan Quartil ( Qd)

6. Simpangan baku ( S )

7. Simpangan rata – rata ( SR)

8. Ragam (R)

Contoh soal

Tabel 1.1 dibawah ini:

Jawab :

Hubungan fungsi trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,

1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,

1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,

[sunting] Penjumlahan

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,

\sin (A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B \,

\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B \,

\cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,

\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} \,

\tan (A – B) = \frac{\tan A – \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,

[sunting] Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,

\cos 2A = \cos^2 A – \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,

\tan 2A = {2 \tan A \over 1 – \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A – 1} = {2 \over \cot A – \tan A} \,

[sunting] Rumus sudut rangkap tiga

\sin 3A = 3 \sin A – 4 \sin^3 A \,

\cos 3A = 4 \cos^3 A – 3 \cos A \,

[sunting] Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,

\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,

\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,

[sunting] Lihat pula

Sinus

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Langsung ke: navigasi, cari

Right triangle

Sinus dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah

\sin A = {\mbox{a} \over \mbox{c}} \qquad \sin B = {\mbox{b} \over \mbox{c}}

Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.

[sunting] Nilai sinus sudut istimewa

\sin 0^o = 0\,

\sin 15^o = \frac {\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}\,

\sin 30^o = \frac{1}{2}\,

\sin 37^o = \frac{3}{5}\,

\sin 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,

\sin 53^o = \frac{4}{5}\,

\sin 60^o = \frac {\sqrt{3}}{2}\,

\sin 75^o = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,

\sin 90^o = 1\,

 

peluang…

1. RUANG SAMPEL

Contoh soal:
Ada 2 uang logam dan 1 buah dadu
Pelemparan uang logam 1 kali
Ruang sampel : S = { A, G }
P adalah kejadian yang diharapkan muncul gambar, maka P = {G}
Pelemparan 2 uang logam secara bersama-sama
Ruang sampel : S = { AA,AG,GA,GG}
A = kejadian muncul angka semua = {AA}
Dadu dilempar sebanyak 2 kali
Ruang sampel :

A= kejadian jumlah mata dadu yang tampak pada lemparan pertama dan kedua sama dengan B
= {(2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2) }
B=kejadian mata dadu yang tampak pada lemparan pertama dan lemparan kedua hasilnya sama
= {(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)}
C=kejadian mata dadu yang tampak pada lemparan kedua adalah 4
={(1,4);(2,4);(3,4);(4,4);(5,4);(6,4)}

2. PELUANG SUATU KEJADIAN

Pada pelemparan sebuah dadu, setiap mata dadu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Karena banyak mata dadu ada 6, maka peluang muncul setiap mata dadu 5 adalah 1/6, yaitu peluang muncul mata dadu 5 adalah 1/6 dan peluang muncul mata dadu 6 adalah 1/6, serta peluang muncul salah satu dari mata dadu 5 atau 6 adalah 2/6

Secara umum, peluang kejadian A dapat dirumuskan sebagai berikut ini

P(A) = (n(A))/(n(S))

n(A) = banyak anggota himpunan A (kejadian)
n(S) = banyak anggota himpunan S (ruang sampel)

3. PELUANG KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN

Komplemen dari kejadian A adalah himpunan semua anggota ruang sampel yang bukan anggota dari kejadian A
Diperoleh hubungan berikut:
A’ = S – A
n(A’) = n(S) – n(A)
(n(A’))/(n(S)) = (n(S))/(n(S)) – (n(A))/(n(S))
P(A’) = 1 – P(A)

Simpulan:
Rumus komplemen dari kejadian A adalah :

P(A’) = 1 – P(A)

.
4. ATURAN PENJUMLAHAN DALAM PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

Contoh: Pelemparan dadu saat sekelompok orang bermain ular tangga
Peluang hasil lemparan muncul mata dadu 5 :
P(A1) = 1/6
Peluang hasil lemparan muncul mata dadu 6:
P(A2) = 1/6
A = hasil lemparan muncul mata dadu lebih dari 4 = {5,6}
P(A) = 2/6 = 1/6 + 1/6 = P(A1) + P(A2)

Jadi, peluang hasil lemparan muncul mata dadu 5 atau muncul mata dadu 6 dapat ditentukan dengan menjumlahkan masing-masing peluang kejadiannya.

Diketahui S suatu ruang sampel dari suatu percobaan A dan B merupakan kejadian dalam ruang sampel S
Sifat himpunan:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
(n(A ∪ B) )/(n(S)) = (n(A))/(n(S)) + (n(B))/(n(S)) – (n(A ∩ B))/(n(S))
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Apabila A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, yaitu A ∩ B = ∅ , maka berlaku
n(A ∩ B) = 0
P(A ∩ B) = (n(A ∩ B))/(n(S))
= 0
Sehingga:

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – (A ∩ B)
= P(A) + P(B) – 0
= P(A) + P(B)

5. ATURAN PERKALIAN DALAM PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

Secara umum, apabila diketahui:

Percobaan I dengan ruang sampel S1 dan A1 merupakan kejadian
Percobaan II dengan ruang sampel S2 dan A2 merupakan kejadian setelah A1 terjadi, serta
Kejadian A1 ∩ A2 : A1 dan A2 keduanya terjadi

Maka diperoleh : n(A1 ∩ A2) = n(A1) x n(A2)
n(S) = n(S1) x n(S2)
P(A1 ∩ A2) = (n(A1 ∩ A2 ) )/(n(S)) = (n(A1 ) x n(A2 ))/(n(S1 ) x n(S2 ))
= (n(A1 ))/(n(S1 ))×(n(A2 ))/(n(S2 )) = P(A1) x P(A2)

Jadi, jika peluang kejadian A1 adalah P(A1) dan peluang kejadian A2 adalah P(A2), maka peluang kejadian A1 dan A2 sekaligus terjadi adalah:

P(A1 ∩ A2) = P(A1) x P(A2)
contoh soal…

 

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

 

PERSAMAAN LINGKARAN DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

4.1 Persamaan lingkaran
A Defenisi
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius.
Titik tertentu tersebut pusat lingkaran dan jarak yang sama disebut jari-jari.
Beberapa formula menentukan jarak
1. Jarak antara dua titik A (X1, Y1) dan B (X2, Y2), ditentukan oleh
2. Jarak titik A (X1, Y1) terhadap garis lurus ax+by+c = 0 ditentukan oleh

B Persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

Persamaan lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan jari-jari r ditentukan oleh

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0(0,0) dan jari-jari:

Jawaban: a. Pusat di 0(0, 0) dan r =4

b. Pusat di 0 (0,0) dan r =

C. Persamaan lingkaran yang berpusat di A (a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran (x-a)2+(y-b)2=r2 dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat a(a,b) dari jari-jari r.

Contoh:
1. Tentukan persamaan setiap lingkaran berikut ini
Pusat (4, 3) dan jari-jari=6
Jawaban: pusat (4, 3) dan r=6; r2= 36
Persamaan lingkaran
(x-4)2+(y-3)2 = 36
2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini
Pusat A(5, -1) melalui titik P (-1, 7)
Jawaban : pusat A (5, -1) dan melalui titik P(-1, 7)
Persamaan lingkaran

3. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut (x-1)2 + (y-2)2 = 25
Jawaban : Pusat A (1, 2) dan r = 5

Posisi suatu titik P (c, d) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2
Posisi suatu titik P (c, d ) terhadap lingkaran L= ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 dilakukan dengan mensubtitusikan p(c, d) keliling lingkaran tersebut dan membandingkan dengan nilai r2, kemungkinan posisi titik p (c, d ) sebagai berikut:
1. P (c, d ) didalam lingkaran L

2. P (c, d ) pada lingkaran L

3. P (c, d ) diluar lingkaran L

Contoh 01 :
Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi setiap titik berikut ini terhadap lingkaran yang disebut.
a. P(1, 1) dan lingkaran
Jawaban;
P(1, 1) dan
Jadi titik P (1, 1) terlatak
Contoh 02:
Tentukan batas-batas nilai a agar
a) P(-a, 1) terletak didalam lingkaran maka

D. BENTUK UMUM PERSAMAAN LINGKARAN
1. Menyatakan bentuk umum persamaan lingkaran
a.

b.

Contoh: Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A (3, 4) dan berjari-jari = 3
Jawaban:

Jadi bentuk umum persamaan lingkarannya adalah x2+y2-6x-8y+16=0

2. Posisi suatu titik T (p, q) terhadap lingkaran

1) T(p, q) didalam lingkaran

2) T(p, q) pada lingakaran L

3) T(p, q) diluas lingkaran

Contoh : Tentukan nilai K agar titik N (k, 2) terletak di luar lingkaran
Jawaban: Kn > 0 = K2 + 22 + 4 K – 3.2 – 10 > 0
= K2 + 4 K – 12 > 0
= ( k + 6 ) ( K – 2 ) > 0
= k < -6 atau K > 2
3. jarak titik A (x1, y1) terhadap lingkaran L yang berpusat di P (a, b) dengan jari-jari r
i. Jika titik A (x1, y1) pada lingakaran L maka L (x1, y1) = 0 dan jarak nya = 0
ii. Jika titik A (x1, y1) di dalam lingkaran L maka L (x1, y1)< ) dan
– Jarak terdekat = AB di tentukan oleh AB = r – AP
– Jarak terjauh = AC ditentukan oleh AC = AP + r dengan jarak AP = jarak titik A kepusat lingkaran
iii. JIka titik A (x1, y1) di luar lingkaran L maka L (x1, y1) > 0 dan
– Jarak terdekat = AB ditentukan Oleh AB = AP – r
– Jarak terjauh = AC = =
4. 2 Kedudukan garis terhadap lingkaran
Kedudukan garis G dengan persamaan y = mx + k terhadap lingkaran ditentukan berdasarkan diskriminasi D = b2 – 4 ac
i. Bila D > 0 maka garis G memotong lingkaran L di dua titik berlainan
ii. Bila D = 0 maka garis G menyinggung lingkaran
iii. Bila D < 0 maka garis G tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L
Contoh: Selidikilah kedudukan setiap garis dibawah ini dengan , dengan garis G; y=3x+2
Jawaban: Hasil subsitusi 10×2 + 13 x +3 = 0
Hasil test diskriminan D = 132 – 14 x 10 x 3
= 169 – 120
= 49 > 0
Kesimpulan:
Garis G: y = 3x +2 memotong lingkaran L didua titik berlainan.

4.3 Persamaan garis singgung lingkaran
(1). Persamaan garis singgung lingkaran lingkaran melalui titik singgung T (X1, Y1) pada lingkaran L
a. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r
X1X + Y1Y= r2
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (1, -2)
Jawaban:
Persamaan garis singgung x-2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0
b. lingkaran L perpusat di A (a, b) dan berjari-jari r
(x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung A (-3, 1)
Jawaban: Persamaan garis singgung
( -3 -1) (x – 1) + ( a – 4 )( y – 4 ) = 25
-4 ( x – 1) -3 (y – 4) -25 = 0
-4x + 4 -3x + 12 – 25 = 0
-4x – 3 y – 9 = 0
4x + 3y + 9 = 0
Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 = 0
c. Lingkaran L dengan bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C= 0

B. Persamaan garis singgung dengan gradient tertentu (m)
i. Lingkaran L berpusat di 0 (0, 0) dan berjari-jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradient m di tentukan oleh formula
ii. Lingkaran L berpusat di A (a, b) dan berjari-jari r penentuan garis singgung pada lingkaran serupa dengan penentuan garis singgung pada lingkaran dengan gradient tertentu (m).
Dengan mensubtitusikan x menjadi (x – a) dan y menjadi ( y – b) pada persamaan garis singgung di peroleh

C. Persamaan garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran
Persamaan lingkaran
1) X2 + y2 = r2
2) (x – a)2 + (y – b)2 = r2
3) x2 + y2 + Ax + By + C= 0
Persamaan garis polar
1. x1 x + y1 y = r2
2. (x1 – a) (x – a) + (y1-b) ( y – b) = r2
3.

4. 4. HUBUNGAN DUA LINGKARAN (PENGAYAAN)

MIsalnya lingkaran L1 dengan pusat P1 dan berjari-jari r1 serta lingkaran L2 dengan pusat P2 dan berjari-jari r2, maka hubungan ke dua lingkaran tersebut depat diuraikan sebagai berikut
i. L1 Sepusat dengan L2 = syaratnya
ii. L1 dan L2 bersinggungan didalam = syaratnya
iii. L2 didalam L1 = syaratnya
iv. L1 berpotongan dengan L2 = syaratnya

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan jari-jari r = 2+
Jawab:
Pusat di 0 (0, 0) dan r = 2+

+3

atau

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (0, 0) dan melalui masing-masing titik berikut ini A (2, 4)
Jawab:
Karena lingkaran x2+y2=r2 melalui titik A (2, 4) maka nilai r2 ditentukan oleh r2 =22 + 42 r2 = 4 + 16
r2 = 20
3. Tentukan tempat kedudukan titik-titik P(x, y) yang memenihi setiap hubungan berikut.
a. apa bila A (0, 1) dan B (0, 16)
Jawaban:
PB = 4PA PB2 =16PA2
(0 – x)2 + (16 – y)2 = 16

4. Tampa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini P(-1, 6) dan
Jawaban : P(-1, 6) dan L x2 + y2 = 40
(-1)2 + 62 = 3 < 40
5. Tentukan pusat dan jari-jari setiap lingkaran berikut ini.
a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9
b. (x + 4)2 + (y – 5)2 = 24
Jawaban:
a. Pusat A (-3, 2) dan r = =3
b. Pusat B (-4, -5) dan r = =
6. Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya merupakan garis yang menghubungjkan titik A (1, 5) dengan B (9, -1)
Jawaban:

7. Tentukan nilai a agar titiuk P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12
Jawaban:
P (a, ) terletak pada lingkaran 2+y2=12
2+3=12 2 =12-3
2 =9
2 =32
= ±3 jadi a = 3 – 4 = -1 dan

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter garis AB dengan A (3, 2) dan B (0, -1)

Persamaan lingkaran

9. Tentukan nilai n agar titik T (3, n) terletak pada lingkaran
Jawaban:
Nilai kuasa titik r (3, n) sama dengan nol, hal ini berarti:
Kr = 32 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= 9 + n2 + 15 – 13 n + 6 = 0
= n2 – 13 n + 30 = 0
= (n – 10) (n – 3) = 0
= n = 10 atau n = 3
10. Tentukan titik potong garis y=2x dengan lingkaran
Jawaban:
Hasil subsitusi:
x2 + 2 x – 15 = 0
= (x – 5) (x – 3) = 0
= x1 = -5 atau x2 = 3
Penemuan nilai y
X1 = -5; Y = 2 (-5) = -10
X2 = 3; Y = 2 (3) = 6
Jadi titik potong dengan lingkaran adalah ( -5, -10) dan (3, 6)

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik singgung B (12, -5)
Jawaban:
Persamaan garis singgung

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B (0, 9)
Jawaban:
Persamaan garis singgung

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung B ( 0, 9) adalah

13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dititik singgung A (2, 1)
Jawaban:
Titik singgung A (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 =1 persamaan garis singgung

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: